Экстремум

Пусть функция f задана на некотором множестве X R и x0 X. Таким образом находим, что в критической точке функция принимает минимальное значение. 4) исследовать знак производной на интервалах, которые получили от разбиения критическими точками области определения . , а значения функции локальный экстремум в экстремальных точках – ее экстремальными значениями. Рассмотренный алгоритм исследования распространяется и на функции бОльшего количества переменных. Я бы мог расписать его в общем виде, но заметная часть аудитории просто на дух не переносит общие формулы с нагромождением цифр и индексов.

Глобальный условный экстремум это точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции НА ВСЁМ МНОЖЕСТВЕ, удовлетворяющем условию связи. Если , то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке . В этом случае необходимо произвести дополнительные исследования знака функции в . Для того чтобы эта точка была точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции,необходимо и достаточно, чтобы производная с обеих сторон от рассматриваемой точки была положительной ( отрицательной). Для того чтобы функция в этой точке имела строгий максимум (строгий минимум), необходимо и достаточно, чтобы при переходе через нее производная меняла знак с плюса на минус (соответственно с минуса на плюс). Отметим, что у функции, равной тождественно постоянной на множестве ее задания, все точки этого множества являются как точками экстремума, так и точками возрастания и убывания функции. Если при xx0 выполняется, кроме того, неравенство ff, то точка x0называется точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции f.

2 Локальные Экстремумы Функций.

Из теоремы Ферма, примененной к указанному сужению функции, следует, что если в указанной точке производная существует, то она равна нулю. — крайний) в математике— максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум). Подобным образом точка является точкой строгого возрастания (строгого убывания) функции тогда и только тогда, когда с обеих сторон от этой точки функция строго возрастает (соответственно строго убывает) (см. теорему 1).

локальный экстремум

Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это ЕЩЁ НЕ ЗНАЧИТ, что там есть экстремум. Нетрудно увидеть, что значение функции I в этой точке является минимальным. Таким образом, приращение z принимает значения разных знаков, а поэтому локальный экстремум в точке экстремума нет. Если, тоимеет в точкелокальный экстремум (при– локальный максимум, при- минимум). если квадратичная форма $Q_$ неопределенная, то функция $f$ в точке $x_$ не имеет экстремума. С другой стороны, очевидно, и так как при любом то экстремума в точке нет.

Необходимые Условия Существования Локального Экстремума

называют соответственно (строгим) локальным или глобальным максимумом или минимумом. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

В точке локального минимума производная меняет знак с минуса на плюс (предполагается, что непрерывна). Если же вторая производная равна нулю , то точка может и не быть точкой экстремума. Тогда для точки функция имеет максимум, если для аргументов выполняется условие, что производная больше нуля , а для условие – производная меньше нуля . , сли существует такой окрестность этой точки, принадлежащий области определения функции, и для всех из этого окрестности выполняется неравенство (или ). Рассмотрим функцию трёх переменных , внутреннюю точку её области определения и -окрестность данной точки, которая представляет собой шар с центром в точке радиуса . Если , то функция имеет экстремум в точке , причём, если , то это минимум, а если – то максимум. Обратное утверждение справедливо далеко не всегда.

Локальный Экстремум

Поэтому разберём ещё случай функции 4 переменных, а дальше – будет понятно. Здесь, напоминаю, не помешает подставить найденное решение в каждое уравнение исходной системы и убедиться в выполнении локальный экстремум условий . Надо сказать, момент весьма неприятный, поскольку здесь существует ненулевая вероятность запороть всё задание. Правда, в данном случае вычисления здОрово облегчил нулевой «икс».

локальный экстремум

У этого термина существуют и другие значения, см. Полное или частичное копирование материалов Сайта в коммерческих целях разрешено только с письменного разрешения владельца Сайта. В случае обнаружения нарушений, виновные лица могут быть привлечены к ответственности в соответствии с действующим законодательством Российской Федерации.